Début des mathématiques jusqu’au collège, quelques notions pour les terminales.
Maria Montessori a conçu une pédagogie très concrète où l’enfant est amené à faire des expériences qui sont essentiellement de nature visuelle et kinesthésique (manipulations).
Apprentissage de la numération
Qu’y a-t-il de plus concret comme apprentissage que celui de la numération ? Nommer des quantités, leur attribuer des symboles graphiques, augmenter ces quantités, les réduire… Alors, n’hésitons pas à user et abuser de tout ce qui peut nous aider dans la vie quotidienne pour cet apprentissage, laissons nos enfants expérimenter et découvrir ces concepts concrètement. La plupart des enfants ont besoin de toucher et de manipuler pour comprendre. Antoine de La Garanderie (gestion mentale) dénombrait 80% d’enfants kinesthésiques. Autant permettre à nos enfants de manipuler le temps qu’ils en auront besoin !
Maria Montessori s’est attachée à séparer chaque difficulté afin de ne pas gêner l’enfant dans les différentes notions qu’il découvre. C’est pourquoi aussi certaines notions se travaillent simultanément mais différemment.
La première grande étape est le dénombrement jusqu’à 10.
Pour Maria Montessori, il est important que, d’une part, l’enfant expérimente et connaisse les quantités (qu’il sache dénombrer jusqu’à 10, ce n’est pas la peine d’aller plus loin), et d’autre part, qu’il expérimente et connaisse les chiffres de 0 à 9 (sur un support rugueux comme pour les lettres, présentés en ordre aléatoire). Il ne faut pas encore faire le rapprochement entre les chiffres et les quantités.
Les barres rouges et bleues : ce sont 10 barres de 10cm, 20cm, 30cm… jusqu’à 1m de long. Leur section est obligatoirement carrée et idéalement de 2cm x 2cm. Mais de 1,6 à 2,4 cm c’est bon. En dessous, ce serait trop petit et au-dessus, ce serait trop gros. Les couleurs ont souvent une importance capitale pour le matériel Montessori, mais pour ces barres, l’importance du rouge et du bleue n’est pas primordiale à part que ce sont les barres « rouges et bleues… ». L’enfant qui a pratiqué cette pédagogie a déjà utilisé les barres rouges (les mêmes en taille mais toutes rouges). Il les a utilisées au niveau sensoriel pour travailler la discrimination des longueurs. Nous commençons par présenter les barres rouges et bleues selon la leçon en 3 temps (les 3 premières barres, puis les 3 suivantes…). Au début, l’enfant peut compter les parties de chaque barre, mais, ce qui est important, c’est que l’enfant arrive à avoir une vision globale de chacune des barres, donc de chacune des quantités, sans avoir à recompter chaque barre. En effet, ces barres permettent d’apprécier les longueurs à la fois par leur nombre de segments et à la fois dans leur globalité. Par exemple, la barre du 5 a cinq segments mais est en une seule pièce.
La barre du cinq
Pour arriver à maîtriser le dénombrement jusqu’à 10, l’enfant dénombre des objets dans la vie de tous les jours : des fruits, des légumes, des cailloux, des insectes…
Mais, dénombrer des objets qui sont séparés peut demeurer difficile. On prend une pomme et on dit ‘’1’’, on en prend une deuxième et l’on dit ‘’2’’, une troisième et l’on dit ‘’3’’… Alors que l’enfant aura tendance à penser ‘’1’’ à chaque fois qu’il prend un objet. « Le fait que, de l’adjonction d’une nouveauté, s’agrandisse un groupe et qu’il faille considérer cet ensemble qui grandit, constitue précisément l’obstacle qui s’oppose à la numération, quand il s’adresse à des enfants au-dessous de trois ans et demi ou de quatre ans. Le regroupement des unités, qui sont en réalité séparées entre elles, est un travail mental qui lui est d’abord inaccessible ; beaucoup de petits enfants comptent en récitant de mémoire la série naturelle des nombres ; mais ils restent confus devant les quantités qui y correspondent. Compter ses mains, ses pieds et ses doigts, c’est déjà quelque chose de plus concret pour l’enfant, parce qu’il peut toujours retrouver les mêmes objets réunis invariablement en cette quantité déterminée. Il sait qu’il a deux pieds et deux mains ». Avec les doigts, c’est déjà plus difficile car le même doigt peut être un, deux, trois, quatre… « Cette confusion, que l’esprit un peu plus mûr corrige, affecte la numération à un plus jeune âge. L’extrême exactitude et l’esprit concret de l’enfant ont besoin d’une aide précise et claire. Quand on présente les barres au tout petit enfant, on le voit s’intéresser à la numération. Les barres, correspondant chacune à un nombre, croissent en longueur, graduellement, d’unité en unité ; elles donnent, par conséquent, non seulement l’idée absolue, mais aussi l’idée relative du nombre ». D’où la grande difficulté d’apprendre à dénombrer des objets, cela demande une certaine maturité. Les barres rouges et bleues permettent de surmonter ce problème puisque nous visualisons en même temps chaque partie de la barre et la globalité de la barre.
Malgré tout, pour arriver à maîtriser le dénombrement jusqu’à 10, l’enfant peut dénombrer des objets dans la vie de tous les jours : des fruits, des légumes, des cailloux, des insectes… Il faudra de toute façon être patient en sachant que le déclic du dénombrement peut se faire entre trois ans et demi et cinq ans selon les enfants.
Symboles graphiques : parallèlement, l’enfant peut commencer à apprendre à lire et à écrire les chiffres de zéro à neuf. Pour cela, Maria Montessori propose l’utilisation des chiffres rugueux qui lui permettent de toucher et de mémoriser musculairement la forme des chiffres. Les chiffres rugueux sont montrés trois par trois avec la leçon en trois temps de manière aléatoire.
Lorsqu’il connaît les chiffres écrits de 0 à 9 et qu’il sait dénombrer jusqu’à 10, nous lui proposons de faire l’association entre les quantités et les symboles avec les barres rouges et bleues et les cartons sur lesquels sont écrits les nombres. Montrer à l’enfant les cartons de 1 à 9 et lui faire lire ces chiffres. L’enfant pose et ordonne les barres. Nous lui montrons la barre du 1 : « Qu’est-ce que c’est ? » « 1 », puis en lui montrant le carton du 1 : « et ça ? » « 1 », « alors, c’est la même chose ? » « oui ». Continuer ainsi. Pour la présentation du nombre 10, montrer le carton du 10 replié côté 1 : « tu connais ? » « oui, c’est 1 », puis côté 0 : « tu connais ? » « oui, c’est 0 ». « Pour faire le 10, il faut ce chiffre (côté 1) et celui-là (côté 0) ». Déplier le carton du 10 : « ceci est 10 ». Le lui donner pour qu’il le pose devant la barre du dix. L’enfant peut refaire ce travail avec les barres étalées dans l’ordre, puis dans le désordre. L’enfant le fait seul et peut compter les parties rouges et bleues pour s’auto-corriger.
Cette étape correspond à celle de l’apprentissage de la lecture ou l’enfant commence à lire un mot sur un billet puis va poser le billet sur l’objet correspondant.
Puis vient le matériel des fuseaux pour une parfaite maîtrise de la dizaine.
Les fuseaux : lorsque l’enfant comprend l’association du symbole graphique à la quantité, il peut commencer à travailler avec des unités séparées, c’est le but des fuseaux. En comptant ces unités séparées, il s’initie l’esprit à la conception des groupes numériques et, en même temps, à fixer la succession des symboles graphiques de 0 à 9, et affirmer l’association du symbole graphique à la quantité. Pour chaque case, l’enfant doit compter le nombre de fuseaux correspondant au symbole écrit et les déposer dans la case après les avoir reliés par un élastique. Le contrôle de l’erreur se fait en partie seul car si l’enfant s’est trompé, à la fin, il lui restera ou il lui manquera des fuseaux.
Les jetons : lorsque l’enfant reconnaît les chiffres écrits (0 à 10) et que leur signification numérique est connue, nous proposons à l’enfant des petits cartons de 1 à 10 (les mêmes que pour les barres rouges et bleues). L’enfant doit les poser les uns à côté des autres dans l’ordre, ce qui permet de vérifier qu’il en est capable. Nous lui donnons 55 jetons. Sous le 1, l’enfant pose 1 jeton ; sous le 2, l’enfant pose 2 jetons un peu écartés, puis il continue en faisant deux files jusqu’à 10. Lorsque c’est un nombre impair, le dernier jeton est mis au milieu. Ainsi, à la fin, nous pouvons lui apporter la notion de pair et impair. Lorsque je passe mon doigt au milieu des jetons, c’est un nombre pair. Lorsque mon doigt reste bloqué par le dernier jeton, le nombre est impair.
Haricots et billets : c’est le tout dernier matériel pour nous assurer de la bonne maîtrise de la dizaine. Nous préparerons des graines par exemple dans une coupe que nous posons plus loin et des billets marqués d’un nombre de 1 à 10 dans une autre coupe devant l’enfant. Celui-ci prend un billet, le lit, le pose devant lui et va chercher la quantité de graines correspondante.
L’enfant maîtrise les chiffres de 0 à 9 avec lesquels il va pouvoir former tous les nombres !
Parallèlement, nous pouvons commencer à évoquer des idées d’addition et de soustraction avec les barres rouges et bleues. « Ces nombres, que l’on peut manier et comparer, se prêtent tout de suite à des combinaisons et à des confrontations. Ainsi, en mettant la barre de 1 à côté de celle de 2, on obtient une longueur égale à la barre de 3. De l’union des barres de 3 et de 2, résulte une longueur égale à celle de 5. L’exercice le plus intéressant consiste à mettre toutes les barres les unes à côté des autres, tout comme on disposait la série des barres rouges pour les exercices sensoriels. Il en résulte la disposition en tuyaux d’orgue, dans laquelle le bleu et le rouge se correspondent en formant de belles raies transversales. En plaçant alors la barre de 1 à la suite de celle de 9 et ainsi de suite, la barre de 2 à la suite de elle de 8, celle de 3 à la suite de celle de 7 et celle de 4 à la suite de celle de 6, on compose des longueurs toutes égales à la barre de 10. Qu’est-ce donc que cette combinaison de quantités, sinon le début d’opérations arithmétiques ? C’est en même temps un jeu plaisant qui consiste à déplacer des objets ; au lieu de faire un effort inutile, de concevoir les groupes d’unités séparées, comme quantités représentant un nombre, l’intelligence dépense son énergie fraîche en un exercice supérieur : constater les quantités et les additionner. Et le progrès avance jusqu’aux limites extrêmes que permet l’âge de l’enfant. ».
« Il reste le 5, qui est seul ; mais en le faisant pivoter dans le sens de la longueur, il passe d’une extrémité du dix à l’autre extrémité : nous mesurons, et nous voyons que le dix est le résultat de deux fois cinq ». Nous pouvons aussi faire l’inverse, et lorsque les associations des barres font dix de différentes manières, nous pouvons commencer à évoquer les soustractions. Nous enlevons la barre de 4 au bout de celle de 6 et dire : « dix moins quatre égalent six ; dix moins trois égalent sept… Quant au cinq qui reste, c’est la moitié de dix, et c’est ce qu’on obtiendrait si l’on scindait en deux parties égales la plus longue barre, c’est-à-dire en divisant le dix par deux : dix divisé par deux égalent cinq » (Pédagogie scientifique tome 1). Le jeune enfant aime faire ses exercices.
Serpent positif : lorsque l’enfant a atteint la maîtrise des quantités jusqu’à 10, nous pouvons travailler le serpent positif. L’enfant dispose des barrettes de couleur (chaque nombre de 1 à 10 a une couleur spécifique) de façon à constituer un serpent multicolore. Puis, il transforme ce serpent multicolore en serpent doré à queue noire et blanche en changeant les barrettes de couleurs par les barrettes dorées qui sont celles du 10 et en se servant des barrettes noires et blanches pour les changes et le reste à la fin. Exemple : l’enfant a disposé une barrette de 6, puis une de 8, puis une de 7… L’enfant compte les barrettes de couleur avec un cavalier en papier jusqu’à ce qu’il arrive à 10. 6+8 font 14. L’enfant sera donc à cheval sur la deuxième barrette. A 10, il pose juste au-dessus une barrette dorée et compte de qui reste à droite du cavalier, donc 4, et pose une barrette de 4 noire au-dessus.
Il enlève les barrettes de 6 et de 8 et les met de côté. Il continue à compter jusqu’à 10 et s’arrête. 4 et 7 font 11. Il pose donc une barrette dorée au-dessus à gauche du cavalier et pose une barrette de 1 noire à droite.
Ainsi de suite jusqu’à la fin pour avoir un serpent tout doré avec une queue noire et blanche. Ensuite, il compare les barrettes de couleurs et les dorées pour le contrôle de l’erreur. Ce matériel permet à l’enfant de commencer à changer les groupes de 10 unités en dizaines, mémoriser les différentes façons de faire 10 et d’acquérir l’exactitude, la précision et le calcul mental.
présentation du système décimal
1, 10, 100, 1000 : avec le matériel de la banque, lui représenter 1 et 10 qu’il connaît déjà et lui présenter cent et mille. Nous pouvons varier les termes : dix, une dizaine, une barrette de dix… cent, une centaine, une plaquette de cent… mille, un millier, un cube de mille… L’enfant doit mémoriser les noms de ces quantités et s’imprégner visuellement de ces quantités.
L’enfant commence à aller chercher des quantités à la banque : « apporte-moi deux mille, quatre centaines, six dizaines… », puis l’enfant va chercher les quantités correspondant aux symboles écrits que nous aurons préparés, et inversement, il prendra les symboles écrits correspondant aux quantités que nous aurons préparées. Viendra, alors, le moment de commencer les grandes additions, puis les grandes soustractions, de façon statique, puis dynamique (avec retenue).
Ce matériel permet à chaque enfant de progresser en fonction de son rythme car la progression est fractionnée pour passer petit à petit à l’abstraction. Les enfants peuvent arriver à ce stade vers 5 ans.
Les petites barres rouges et bleues et les tables : à la suite des premières opérations effectuées avec les barres rouges et bleues, nous pouvons proposer à l’enfant les petites barres rouges et bleues et leurs tableaux qui permettent d’effectuer des additions jusqu’à 18 et des soustractions. L’enfant remplit de petites fiches pour chaque table d’addition ou de soustraction. Des tables à doigts aident l’enfant au contrôle de l’erreur.
Les tables de Seguin : on peut montrer à l’enfant que certaines quantités comme onze, douze… trente, quarante… ont un nom particulier. En effet, lorsque l’enfant comprend le principe de numération, il est difficile pour lui d’intégrer les noms particuliers de certaines quantité. Aussi, Maria Montessori sépare ces apprentissages. D’un côté l’enfant commence à découvrir les additions en ajoutant des quantités comme deux mille quatre cent trois dix six par exemple. En parallèle, l’enfant apprend avec ce matériel à la couleur neutre les noms particuliers de certaines quantités. En effet, il sera logique pour l’enfant, dès qu’il aura compris le principe, de parler de deux dix, trois dix, quatre dix… tout comme nous avons deux cents, trois cents, quatre cents … ou de dire dix deux, dix trois, dix quatre comme nous disons dix sept ou dix huit. L’enfant ne doit pas être freiné dans cet élan car lorsqu’il commence à comprendre le principe, il peut se mettre à compter très vite jusqu’à cent ou mille.
Il y a deux séries de table de Seguin, celle pour apprendre les noms particuliers des quantités 11 à 19 et l’autre série pour apprendre les noms particuliers des multiples de dix de 20 à 90 et pour compter jusqu’à 99. Si on a le matériel des barrettes de perles ou des barrettes Cuisenaire, on peut matérialiser la quantité étudiée. Des enfants ont encore besoin à ce stade de visualiser les quantités. Les nouvelles quantités se présentent par trois selon la leçon en trois temps.
Les fractions
Lorsqu’on aborde les fractions qui sont des divisions, la notion nouvelle est que l’unité peut se diviser. Les fractions sont abordées en s’appuyant sur le vécu de l’enfant. Si on donne à l’enfant un quart de pomme, il sait qu’il en reçoit un quart. Commencer par lui faire énoncer les termes qu’il connaît en manipulant.
La pédagogie Montessori propose l’écriture des fractions dès la première présentation des cercles partagés, car les cercles sont présentés comme des « familles ». La famille des demis, des tiers, des quarts, des cinquièmes,…
Le nom de la famille auquel le cercle appartient s’écrit sous la barre de division. Au dessus de la barre, on écrit le nombre de morceaux que l’on prend.
Plus tard, nous parlerons de dénominateur et de numérateur.
L’enfant manipule le matériel : nous lui proposons des fractions écrites, l’enfant cherche les morceaux qui correspondent. Puis nous sortons des morceaux, l’enfant écrit la fraction correspondante. L’enfant peut redessiner des morceaux, les colorier, les découper, … et en général, commence à les comparer.
Plus tard, nous proposons à l’enfant, à moins qu’il ne le trouve seul, de chercher les fractions équivalentes. D’abord par rapport à l’entier : 1/1 = 2/2 = 3/3 = 4/4 …
Puis il cherche des équivalences par rapport à des morceaux.
Là encore, l’enfant peut dessiner, découper, colorier pour fixer ces nouvelles leçons. Il peut également réaliser des affiches.
Ensuite viendront les premières opérations de fractions de mêmes familles, puis les opérations de fractions de familles différentes.
Les cercles partagés limitant la difficultés des opérations, j’ai fabriqué un matériel sous forme de barres en prenant exemple sur les tours de fractions en plastique et emboîtables vues sur le catalogue Celda. Ces barres sont imprimées sur du bristol. Ainsi mes enfants ont travaillé en alternance avec les cercles et les barres suivant les exercices.
Fichier à imprimer sur du bristol ou papier plastifier. Il est utile de l’imprimer en plusieurs exemplaires. Peut servir pour les premiers calculs opératoires de fractions. Ce matériel peut être utiliser après les cercles partagés, tant que l’enfant a besoin de manipuler avant de passer à l’abstraction.
Ex : 2/5 + 7/10 Pour réduire au même dénominateur, l’enfant cherche par quoi il peut remplacer les cinquièmes et les remplace par des dixièmes.
Le matériel des barres permet d’effectuer des opérations plus complexes.
L’enfant intègre les nouvelles notions en manipulant le matériel qui lui permet de trouver la réponse visuellement.
L’enfant comprenant que les fractions sont des divisions, que l’entier peut se diviser, l’introduction des nombres décimaux se fait naturellement.
Voici la présentation des symboles décimaux de Maria Montessori. Nous montrons 10 à l’enfant : « Qu’est-ce que c’est » « dix » « dix, c’est dix fois plus que l’unité. Pour écrire la quantité qui est dix fois plus petite… (nous prenons le dix, nous le retournons en ajoutant une virgule, sur un petit papier, entre le zéro et le un) nous avons maintenant 1/10 ». Nous sortons à l’enfant le billet où il est écrit correctement 0,1. Nous procédons de la même manière pour 100, puis 1000.
